Ta có: \(\frac{a}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(1\right)\)

Mặt khác: \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(3\right)\)

Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\left(4\right)\)

\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\left(5\right)\)

\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{b+d+a}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\left(6\right)\)

Cộng vế với vế (3);(4);(5);(6) ta có:

\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\left(đpcm\right)\)

Đặt A = a/a+b+c + b/b+c+d + c/c+d+a + d/d+a+b

A > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d+a+b+c+d

A > a+b+c+d/a+b+c+d = 1 (1)

Áp dụng a/b < 1 <=> a/b < a+m/b+m (a;b;m > 0) ta có:

A < a+d/a+b+c+d + a+b/a+b+c+d + b+c/a+b+c+d + c+d/a+b+c+d

A < 2.(a+b+c+d)/a+b+c+d

A < 2

Từ (1) và (2) => đpcm

nguồn:soyeon_Tiểubàng giải

+ \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=1\) (1)

+ Ta c/m : Nếu \(\frac{m}{n}< 1\) thì \(\frac{m}{n}< \frac{m+x}{n+x}\)

+ Ta có : \(\frac{m}{n}< 1\Leftrightarrow m< n\Leftrightarrow mx< nx\) ( m,n,x > 0 )

\(\Leftrightarrow mn+mx< mn+nx\Leftrightarrow m\left(n+x\right)< n\left(m+x\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{m}{n}< \frac{m+x}{n+x}\)

Áp dụng kết quả trên :

\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{a+b}{a+b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{a+b+c+d}\) \(=\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\) (2)

+ Từ (1) và (2) => đpcm

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}=\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwar dạng Engel ta có:

\(\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}\ge\frac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{8^2}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}=VP\)

áp dụng bất đẳng thức:\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)=>\(\frac{4}{a+b}\)(áp dụng 2 cái đầu trc,rồi lấy KQ đó áp dụng típ vào cái thứ 3,rồi cái cuối

Ta có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge\frac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}\)

lớp 6 làm thì hơi dài đấy, nếu bạn muốn thì có thể áp dụng các bất đẳng thức của lớp trên cho nhanh

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\) với a , b > 0 ta có :

\(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a}=\frac{a\left(d+a\right)+c\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(d+a\right)}=\frac{ad+a^2+bc+c^2}{\left(b+c\right)\left(d+a\right)}\ge\frac{4\left(ad+a^2+bc+c^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\) ( 1 )

\(\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b}=\frac{b\left(a+b\right)+d\left(c+d\right)}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}=\frac{ab+b^2+cd+d^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\frac{4\left(ab+b^2+cd+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) cộng theo từng vế:

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{4\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)

Cần chứng minh rằng \(\frac{\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Rightarrow2ab+2bc+2cd+2ad+2a^2+2b^2+2c^2+2d^2\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2cd+2bd\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ac+2bd\)

\(\Rightarrow a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)

Vậy \(\frac{ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{4\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge2\)

Vì \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{4\left(ab+bc+cd+ad+a^2+b^2+c^2+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)

Vậy \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge2\)